Question

各項均為正數的等比數列，，，單調增數列的前項和為，，且（）．
（Ⅰ）求數列、的通項公式；
（Ⅱ）令（），求使得的所有的值，并說明理由．
（Ⅲ) 證明中任意三項不可能構成等差數列．

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）所有的值為1，2，3，4，理由見解析（Ⅲ)證明見解析

試題分析：（Ⅰ）設等比數列的公比為，
∵=，，=4，
∵，∴，∴.                                    ……3分
∴
∵+2　            ①
當時，+2 ②
①-②得，即，
∵ ∴=3，
∴是公差為3的等差數列．
當時，+2，解得=1或=2，
當=1時，，此時=7，與矛盾；
當時，此時此時=8=，
∴．　                                                    ……6分
（Ⅱ）∵，∴＝，
∴=2>1，=＞1，,，，
下面證明當時，
事實上，當時，＝＜0
即，∵， ∴當時，，
故滿足條件的所有的值為1，2，3，4．                        ……11分
(Ⅲ)假設中存在三項(,∈N*)使構成等差數列，
∴，即，∴．
因左邊為偶數，右邊為奇數，矛盾．
∴假設不成立，故不存在任意三項能構成等差數列．                     ……16分
點評：等差數列和等比數列是兩類最重要的數列，它們的基本量的運算要靈活掌握，另外，探索性問題通常都是先假設成立，再根據題意求解，如果求出符合要求的值就是存在的，如果求不出符合要求的解，就不存在.