Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=g（x）在點(diǎn)P（x0 ， y0）處的切線方程為l：y=h（x）．當(dāng)x≠x0時(shí)，若 ＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=g（x）的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”．當(dāng)a=8時(shí)，問函數(shù)y=f（x）是否存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”？若存在，求出“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時(shí)，f′（x）=2x﹣3+ = ，

當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，0＜x＜ ，或x＞1，

當(dāng)f′（x）＜0時(shí)， ＜x＜1，

∴f（x）在（0， ）和（1，+∞）遞增，在（ ，1）遞減；

∴x= 時(shí)，f（x）極大值=﹣ +ln ，

x=1時(shí)，f（x）極小值=﹣2

（2）解：a=8時(shí)，由y=f（x）在其圖象上一點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線方程，

得h（x）=（2x0+ ﹣10）（x﹣x0）+ ﹣10x0+8lnx0，

設(shè)F（x）=f（x）﹣h（x）=，則F（x0）=0，

F′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+ ﹣10）﹣（2x0+ ﹣10）

= （x﹣x0）（x﹣ ）；

當(dāng)0＜x0＜2時(shí)，F(xiàn)（x）在（x0， ）上遞減，

∴x∈（x0， ）時(shí)，F(xiàn)（x）＜F（x0）=0，此時(shí) ＜0，

x0＞2時(shí)，F(xiàn)（x）在（ ，x0）上遞減；

∴x∈（ ，x0）時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（x0）=0，此時(shí) ＜0，

∴y=f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，

x0=2時(shí)，F(xiàn)′（x）= （x﹣2）2，即F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

x＞x0時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（x0）=0，x＜x0時(shí)，F(xiàn)（x）＜F（x0）=0，

即點(diǎn)P（x0，f（x0））為“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，

故函數(shù)y=f（x）存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，且2是“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)．

【解析】（1）將a=1代入函數(shù)表達(dá)式，求出導(dǎo)函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間從而求出函數(shù)的極值；（2）a=8時(shí)，由y=f（x）在其圖象上一點(diǎn)P（x0 ， f（x0））處的切線方程，得h（x）=（2x0+ ﹣10）（x﹣x0）+ ﹣10x0+8lnx0 ， 設(shè)F（x）=f（x）﹣h（x）=，則F（x0）=0，F(xiàn)′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+ ﹣10）﹣（2x0+ ﹣10）= （x﹣x0）（x﹣ ）；分別討論當(dāng)0＜x0＜2，x0=2，x0＞2時(shí)的情況，從而得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．