【題目】已知函數
， 
（
， 
為自然對數的底數）.
（1）試討論函數
的極值情況；
（2）證明：當
且
時，總有
.
【答案】（1）見解析;（2）見解析.
【解析】試題分析：（1）求
定義域內的所有根；判斷
的根
左右兩側值的符號即可得結果；（2）當
時， 
，研究函數的單調性，兩次求導，可證明
在
內為單調遞增函數，進而可得當
時， 
，即可得結果.
試題解析：（1）
的定義域為
，
.
①當
時， 
，故
在
內單調遞減， 
無極值；
②當
時，令
，得
；令
，得
.
故
在
處取得極大值，且極大值為
， 
無極小值.
（2）證法一：當
時， 
.
設函數
，
則
.記
，
則
.
當
變化時， 
， 
的變化情況如下表：
由上表可知
，
而
，
由
，知
，
所以
，
所以
，即
.
所以
在
內為單調遞增函數.
所以當
時， 
.
即當
且
時， 
.
所以當
且
時，總有
.
證法二：當
時， 
.
因為
且
，故只需證
.
當
時， 
成立；
當
時， 
，即證
.
令
，則由
，得
.
在
內， 
；
在
內， 
，
所以
.
故當
時， 
成立.
綜上得原不等式成立.
53隨堂測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知圓的參數方程為
（
為參數），以直角坐標系的原點為極點， 
軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（Ⅰ）將圓的參數方程化為普通方程，再化為極坐標方程；
（Ⅱ）若點
在直線
上，當點
到圓的距離最小時，求點
的極坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知一組數據x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5的平均數是2，方差是 
，那么另一組數據3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣3，3x4﹣2，3x5﹣2的平均數和方差分別為（ ）
A.2，
B.4，3
C.4， 
D.2，1
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數y=x+ 
有如下性質：如果常數t＞0，那么該函數在 
上是減函數，在 
上是增函數．
（1）已知f（x）= 
，x∈[﹣1，1]，利用上述性質，求函數f（x）的單調區間和值域；
（2）對于（1）中的函數f（x）和函數g（x）=﹣x﹣2a，若對任意x1∈[﹣1，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求實數a的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C： 
（a＞b＞0）的離心率為 
，左焦點為F（﹣1，0），過點D（0，2）且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求k的取值范圍；
（3）在y軸上，是否存在定點E，使 
恒為定值？若存在，求出E點的坐標和這個定值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．
（1）當a=1時，求函數f（x）的極值；
（2）設定義在D上的函數y=g（x）在點P（x0 ， y0）處的切線方程為l：y=h（x）．當x≠x0時，若 
＞0在D內恒成立，則稱P為函數y=g（x）的“轉點”．當a=8時，問函數y=f（x）是否存在“轉點”？若存在，求出“轉點”的橫坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若函數f（x）對任意的x∈R都有f′（x）＞f（x）恒成立，則（ ）
A.3f（ln2）＞2f（ln3）
B.3f（ln2）=2f（ln3）
C.3f（ln2）＜2f（ln3）
D.3f（ln2）與2f（ln3）的大小不確定
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系中，曲線
,曲線
．以極點為坐標原點，極軸為
軸正半軸建立平面直角坐標系
，曲線
的參數方程為
（
為參數）．
（1）求
的直角坐標方程；
（2）
與
交于不同的四點，這四點在
上排列順次為
,求
的值．
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