Question

【題目】在各項均為正數的等比數列{an}中，a1=2，且2a1 ， a3 ， 3a2成等差數列．
（Ⅰ） 求等比數列{an}的通項公式；
（Ⅱ） 若數列{bn}滿足bn=11﹣2log2an ， 求數列{bn}的前n項和Tn的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設數列{an}的公比為q，an＞0
因為2a1 ， a3 ， 3a2成等差數列，所以2a1+3a2=2a3 ，
即，
所以2q2﹣3q﹣2=0，解得q=2或（舍去），
又a1=2，所以數列{an}的通項公式．
（Ⅱ）由題意得，bn=11﹣2log2an=11﹣2n，
則b1=9，且bn+1﹣bn=﹣2，
故數列{bn}是首項為9，公差為﹣2的等差數列，
所以=﹣（n﹣5）2+25，
所以當n=5時，Tn的最大值為25．
【解析】（Ⅰ）設數列{an}的公比為q，由等差中項和等比數列的通項公式列出方程，結合題意求出q的值，再代入等比數列的通項公式化簡；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和題意化簡 bn ， 并判斷出數列{bn}是等差數列，求出首項和公差，代入等差數列的前n項和公式，再對Tn進行配方，根據二次函數的性質求出它的最大值．