Question

【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極值.

(1)求的值；

(2)若有極大值，求在上的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析:(1) 函數(shù)在點(diǎn)處取得極值 ,則 , ,列方程組解出a,b的值即可;(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性,求出函數(shù)的極大值,由極大值可求出c的值,代回解析式,根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)在上的最小值．

試題解析：

(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，

由于f(x)在點(diǎn)x＝2處取得極值c－16，

故有,

即化簡(jiǎn)得,

解得a＝1，b＝－12.

(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；

f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．

令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.

當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)；

當(dāng)x∈(－2,2)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上為減函數(shù)；

當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，

故f(x)在(2，＋∞)上為增函數(shù)．

由此可知f(x)在x1＝－2處取得極大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x1＝2處取得極小值f(2)＝c－16.

由題設(shè)條件知16＋c＝28得c＝12.

此時(shí)f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，

f(2)＝－16＋c＝－4，

因此f(x)在[－3,3]上的最小值為f(2)＝－4.

點(diǎn)睛: 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的關(guān)系：(1)定義域上的可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值的充要條件是，并且在兩側(cè)異號(hào)，若左負(fù)右正為極小值點(diǎn)，若左正右負(fù)為極大值點(diǎn)；(2)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值時(shí)，它在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不一定存在，例如函數(shù)，結(jié)合圖象，知它在處有極小值，但它在處的導(dǎo)數(shù)不存在；(3) 既不是函數(shù)在處取得極值的充分條件也不是必要條件．最后一定要注意對(duì)極值點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)．