Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lg的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，其中a為常數(shù)．

（Ⅰ）求a的值，并求出f（x）的定義域

（Ⅱ）關(guān)于x的方程f（2x）+21g（2x-1）=a在x∈[，]有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a=-1，定義域（-∞，-1）∪（1，+∞）（Ⅱ）a∈[0，lg7]．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出a的值，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式，即可求出函數(shù)的定義域，

（Ⅱ）關(guān)于x的方程f（2x）+21g（2x-1）=a在x∈[]有實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為lg（22x-1）=a在x∈[]有實(shí)數(shù)解，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出y=lg（22x-1）的值域即可求出a的范圍

（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=lg的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∴函數(shù)f（x）=lg為奇函數(shù)，即f（-x）+f（x）=0，

∴，且a≠1

∴l(xiāng)g=0，

∴=1，

整理可得，（a2-1）x2=0恒成立，

∴a=1（舍）或a=-1，f（x）=lg，

由＞可得，x＜-1或x＞1，

即函數(shù)的定義域（-∞，-1）∪（1，+∞），

（Ⅱ）設(shè)2x=t，則t∈[，2]，

∵關(guān)于x的方程f（2x）+21g（2x-1）=a在x∈[，]有實(shí)數(shù)解，

∴l(xiāng)g+21g（2x-1）=lg（2x+1）（2x-1）=lg（22x-1）=a在x∈[，]有實(shí)數(shù)解，

設(shè)u=22x-1，則u（x）為增函數(shù)，y=lgu為增函數(shù)，

∴y=lg（22x-1）在[，]上為增函數(shù)，

∴0≤y≤lg7，

∴a∈[0，lg7]．