Question

【題目】橢圓離心率為，，是橢圓的左、右焦點，以為圓心，為半徑的圓和以為圓心、為半徑的圓的交點在橢圓上.

(1)求橢圓的方程；

(2)設橢圓的下頂點為，直線與橢圓交于兩個不同的點，是否存在實數使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）第一問，直接根據已知條件得到關于a，c的方程組解答即可. （2）第二問，先設MN的中點為H，再利用韋達定理得到點H的坐標，再根據求出k的值，最后利用判別式檢驗.

試題解析：

（1）由題意可得，

解得，

所以，

所以橢圓的方程為；

（2）由題意知，

聯立方程，整理得 ，

（化簡可得），①

設，則

，,

設中點為，

由，知，

所以點的坐標為，

因為，所以，

又直線斜率均存在，所以.

于是 ，

解得，即，

將代入①，滿足．故存在使得以為鄰邊的平行四邊形可以是菱形，值為．