Question

【題目】如圖，在三棱臺ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，

（1）求證：EF⊥平面ACFD；
（2）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：延長AD，BE，CF相交于點K，如圖所示，

∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，

∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC．

又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BF⊥CK，

∴BF⊥平面ACFD

（2）

方法一：過點F作FQ⊥AK，連接BQ，∵BF⊥平面ACFD．∴BF⊥AK，則AK⊥平面BQF，

∴BQ⊥AK．∴∠BQF是二面角B﹣AD﹣F的平面角．

在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，可得FQ= ．

在Rt△BQF中，BF= ，FQ= ．可得：cos∠BQF= ．

∴二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值為 ．

方法二：如圖

，

延長AD，BE，CF相交于點K，則△BCK為等邊三角形，

取BC的中點，則KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，∴KO⊥平面BAC，

以點O為原點，分別以OB，OK的方向為x，z的正方向，建立空間直角坐標系O﹣xyz．

可得：B（1，0，0），C（﹣1，0，0），K（0，0， ），A（﹣1，﹣3，0）， ， ．

=（0，3，0）， = ， （2，3，0）．

設平面ACK的法向量為 =（x1，y1，z1），平面ABK的法向量為 =（x2，y2，z2），由 ，可得 ，

取 = ．

由 ，可得 ，取 = ．

∴ = = ．

∴二面角B﹣AD﹣F的余弦值為 ．

【解析】（1）先證明BF⊥AC，再證明BF⊥CK，進而得到BF⊥平面ACFD．
（2）方法一：先找二面角B﹣AD﹣F的平面角，再在Rt△BQF中計算，即可得出；
方法二：通過建立空間直角坐標系，分別計算平面ACK與平面ABK的法向量，進而可得二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值．
本題考查了空間位置關系、法向量的應用、空間角，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．