Question

【題目】如圖，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，點M、N分別是B1C1和A1B1的中點，AA1＝AB＝BM＝2，∠A1AB＝60°．

（1）求證：BN⊥平面A1B1C1；

（2）求二面角A1﹣AB﹣M的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）要證平面，只需證明，；

（2）建立坐標系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角的余弦值.

（1）證明：連接MN，A1B，

∵側面是ABB1A1菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1BB1為正三角形．

∵N是A1B1的中點，∴BN⊥A1B1，

∵AA1＝AB＝BM＝2，∴BN＝，MN＝1，∴BN2+MN2＝BM2，∴BN⊥MN，

∵A1B1∩MN＝N，∴BN⊥平面A1B1C1；

（2）取AB的中點E，連接A1E，則A1E∥BN，由（1）知A1E⊥平面ABC，

以E為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，則E（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），A（0，0，），B1（2，0，），

設M（x，y，z），由得，

∴，

∴,

平面ABA1的一個法向量為（0，1，0），

設平面MAB的法向量（x，y，z），則 ，

∴（0，﹣2，1），

∴ ，

∴二面角A1﹣AB﹣M的余弦值為．