Question

【題目】如圖所示，在四邊形ABCD中，AC＝CD＝AB＝1， ，sin∠BCD＝.

(1)求BC邊的長(zhǎng)；

(2)求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】 試題分析：（1）先根據(jù)向量數(shù)量積求∠BAC,再根據(jù)余弦定理求BC邊的長(zhǎng)；（2）四邊形ABCD的面積等于兩個(gè)三角形面積之和,而△ABC為直角三角形，可得其面積;根據(jù)∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD,所以先由sin∠BCD＝求sin∠ACD,再根據(jù)三角形面積公式求S△ACD,最后相加得四邊形ABCD的面積

試題解析：(1)∵AC＝CD＝AB＝1，∴＝2cos∠BAC＝1.

∴cos∠BAC＝，∴∠BAC＝60°.

在△ABC中，由余弦定理，有

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12－2×2×1×＝3，∴BC＝ .

(2)由(1)知，在△ABC中，有AB2＝BC2＋AC2.∴△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°.

∴S△ABC＝BC·AC＝

又∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，sin∠BCD＝，∴cos∠ACD＝.

從而sin∠ACD＝.

∴S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×1×1×＝.

∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋＝.