Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，左、右焦點分別為圓F1、F2 ， M是C上一點，|MF1|=2，且| || |=2 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交于不同兩點A、B時，線段AB上取點Q，且Q滿足| || |=| || |，證明點Q總在某定直線上，并求出該定直線的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，∴a=2c，

橢圓左、右焦點分別為圓F1、F2，M是C上一點，|MF1|=2，且| || |=2 ．

得cos＜ ＞= ，∴∠F1MF2=60°．

在△F1F2M中，由余弦定理得：

（2c）2=22+（4c﹣2）2﹣2×2（4c﹣2）cos60°，

解得c=1．

則a=2，b= ．

∴橢圓C的方程為

（2）證明：由題意可得直線l的斜率存在．

設直線l的方程為y﹣1=k（x﹣4），即y=kx+（1﹣4k），

代入橢圓方程，整理得（3+4k2）x2+（8k﹣32k2）x+64k2﹣32k﹣8=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ， ．

設Q（x0，y0），由| || |=| || |，得：

（4﹣x1）（x0﹣x2）=（x1﹣x0）（4﹣x2）（考慮線段在x軸上的射影即可），

∴8x0=（4+x0）（x1+x2）﹣2x1x2，

于是 ，

整理得3x0﹣2=（4﹣x0）k，①

又k= ，代入①式得3x0+y0﹣3=0，

∴點Q總在直線3x+y﹣3=0上

【解析】（1）由已知得a=2c，且∠F1MF2=60°，由余弦定理求出c=1，即可求得a，結合隱含條件求得b，則橢圓C的方程可求；（2）設直線l的方程為y=kx+（1﹣4k），代入橢圓方程，得（3+4k2）x2+（8k﹣32k2）x+64k2﹣32k﹣8=0，利用根與系數的關系結合已知向量等式即可證明點Q總在某定直線上，并求出該定直線方程．