Question

【題目】設函數f（x）= 與g（x）=a2lnx+b有公共點，且在公共點處的切線方程相同，則實數b的最大值為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點P（x0 ， y0）處的切線相同、 f′（x）=3x﹣2a，g′（x）= ，
由題意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），
即 x02﹣2ax0=a2lnx0+b，3x0﹣2a=
由3x0﹣2a= 得x0=a或x0=﹣ a（舍去），
即有b= a2﹣2a2﹣a2lna=﹣ a2﹣a2lna．
令h（t）=﹣ t2﹣t2lnt（t＞0），則h′（t）=2t（1+lnt），
于是當2t（1+lnt）＞0，即0＜t＜ 時，h′（t）＞0；
當2t（1+lnt）＜0，即t＞ 時，h′（t）＜0．
故h（t）在（0， ）為增函數，在（ ，+∞）為減函數，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h（ ）= ，
故b的最大值為 ．
故選A．