Question

【題目】已知函數，其中，，是自然對數的底數.

（1）若曲線在點處的切線為，求的值；

（2）求函數的極大值；

（3）設函數，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由題意得出，由此可求得實數的值；

（2）求得，對實數分、和三種情況討論，利用導數分析函數的單調性，由此可求得函數的極大值；

（3）分別證明不等式和，在證明不等式時，即證，構造函數，利用導數證明即可；在證明不等式，即證，只需令，利用導數證明出即可.

（1），，

直線可化為，，

由題意可得，即，解得；

（2）顯然函數的定義域為，.

①當時，若時，；若時，.

所以，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

此時，函數沒有極大值；

②當時，令，解得或，其中.

若或時，；若時，.

所以，函數在區間和上單調遞增，在區間上單調遞減，

此時，函數的極大值為；；

③當時，對任意的恒成立，則函數在上單調遞增，沒有極大值；

綜上所述，當或，函數沒有極大值；

當時，函數的極大值為；

（3）①要證，只要證.

令，則，令，可得.

當時，；當時，.

所以，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以，，即；

②要證，只要證，即.

由（2）知，當時，，

此時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

，.

綜合①②，成立.