Question

【題目】如圖，邊長為2的正方形ABCD中，
（1）點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′．求證：A′D⊥EF．
（2）當BE=BF=BC時，求三棱錐A′﹣EFD體積．

Answer 1

【答案】（1）證明：由已知，折疊前，有AD⊥AE，CD⊥CF，
折疊后，有A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又∵A′E∩A′F=A′，A′E、A′F平面A′EF，
∴A′D⊥平面A′EF，
∵EF平面A′EF，
∴A′D⊥EF；
（2）解：取EF的中點G，連接A′G，則
由BE=BF=BC可知，
△A′EF為腰長，底邊長為的等腰三角形，
∴=，則=XX=
與（1）同理可得，A′D⊥平面A′EF，且A′D=2，
∴=XX2=．

【解析】（1）利用折疊前后直角不變，結合線面垂直的判定得到A′D⊥平面A′EF，從而得到A′D⊥EF；
（2）求出△A′EF的面積，結合DA′⊥面A′EF，利用等積法把三棱錐A′﹣EFD體積轉化為三棱錐D﹣A′EF的體積求解．