Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．
（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（2）證明AE⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】解：（1）在四棱錐P﹣ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，
故PA⊥AB．
又AB⊥AD，PA∩AD=A，
從而AB⊥平面PAD，
故PB在平面PAD內的射影為PA，從而∠APB為PB和平面PAD所成的角．
在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．
所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°．
（2）證明：在四棱錐P﹣ABCD中，
因為PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，
所以CD⊥PA．
因為CD⊥AC，PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAC．
又AE平面PAC，所以AE⊥CD．
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
因為E是PC的中點，所以AE⊥PC．
又PC∩CD=C，
所以AE⊥平面PCD．

【解析】（1）先找出PB和平面PAD所成的角，再進行求解即可；
（2）可以利用線面垂直根據二面角的定義作角，再證明線面垂直．
【考點精析】通過靈活運用空間角的異面直線所成的角，掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．