Question

【題目】已知函數(shù)，．

若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

設(shè)m，n為正實(shí)數(shù)，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)的極值點(diǎn)，解得，求出切線的斜率為，切點(diǎn)為，然后利用點(diǎn)斜式求解切線方程；由知，利用函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，得到在區(qū)間上恒成立，推出，設(shè)，，，利用基本不等式，再求出函數(shù)的最大值，可得實(shí)數(shù)的取值范圍；利用分析法證明，要證，只需證，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得,從而可得結(jié)論．

，．

是函數(shù)的極值點(diǎn)，，解得，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意

此時(shí)切線的斜率為，切點(diǎn)為，

則所求切線的方程為

由知

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，

所以不等式在區(qū)間上恒成立

即在區(qū)間上恒成立，

當(dāng)時(shí)，由可得，

設(shè)，，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，

又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減，在區(qū)間上為單調(diào)遞增，

且，，

所以當(dāng)時(shí)，恒成立，

即，也即

則所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是

，n為正實(shí)數(shù)，且，要證，只需證

即證只需證

設(shè)，，

則在上恒成立，

即函數(shù)在上是單調(diào)遞增，

又，，即成立，

也即成立.