Question

【題目】若函數在時，函數值y的取值區間恰為[]，就稱區間為的一個“倒域區間”．定義在上的奇函數，當時，．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求函數在內的“倒域區間”；

（Ⅲ）若函數在定義域內所有“倒域區間”上的圖像作為函數=的圖像，是否存在實數，使集合恰含有2個元素．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題（1）運用奇偶性得出；（2）得出方程組問題

（3），利用方程思想求解，m應當使方程，在內恰有一個實數根，并且使方程，在內恰有一個實數

試題解析：（Ⅰ）當時，

（Ⅱ）設1≤＜≤2，∵在上遞減，

∴整理得

，解得．

∴在內的“倒域區間”為．

（Ⅲ）∵在時，函數值y的取值區間恰為，其中

∴，∴同號．只考慮0＜＜≤2或－2≤＜＜0

當0＜＜≤2時，根據的圖像知，最大值為1，，

∴1≤＜≤2，由（Ⅱ）知在內的“倒域區間”為；

當－2≤＜＜0時間，最小值為-1，，

∴，同理知在內的“倒域區間”為．

依題意：拋物線與函數的圖象有兩個交點時，一個交點在第一象限，一個交點在第三象限．因此，應當使方程，在內恰有一個實數根，并且使方程，在內恰有一個實數

由方程在內恰有一根知；

由方程在內恰有一根知，

綜上：＝－2．