Question

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)證明: 當(dāng)時(shí), .

(Ⅱ)證明: 當(dāng)時(shí), .

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；(Ⅱ)詳見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由不等式的特征構(gòu)造函數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大值，據(jù)此即可證得題中的結(jié)論： .

(Ⅱ)結(jié)合(I)的結(jié)論構(gòu)造函數(shù),研究該函數(shù)的性質(zhì)即可證得當(dāng)時(shí), .

試題解析：

(Ⅰ)證明: 要證, 也即證.

令, 則. 令, 則. 因此, 當(dāng)時(shí), 有, 故在上單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí), 有, 故在上單調(diào)遞增.

所以, 在上的最大值為.

又, . 故成立, 即成立. 原命題得證.

(Ⅱ) 證明: 由 (I) 得: 當(dāng)時(shí),

令, 則

所以, 在上單調(diào)遞增，即

所以 得證.

下證.

即證

令則，所以在上單調(diào)遞增,

所以， ，得證.

另證：要證，即證，

令在上遞增，所以得證.