【題目】已知函數
（
為自然對數的底數）.
（1）若
， 
，求函數
的單調區間；
（2）若
，且方程
在
內有解，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）單調遞增區間為
，單調遞減區間為
.（2）
【解析】【試題分析】（1）先求出函數解析式導數，再借助導數與函數的單調性的關系求解；（2）依據題設先將問題進行等價轉化，再構造函數運用導數與函數的單調性的關系研究函數的圖像的形狀分析求解：
（1）若
， 
，則
，
由
，得
或
，
①若
，即
時， 
，此時函數單調遞減，單調遞減區間為
；
②若
，即
時，由
，得
；由
得
，或
，
所以單調遞增區間為
，單調遞減區間為
.
（2）若
，∴
， 
則，
若方程
在
內有解，即
在
內有解，
即
在
有解.
設
，則
在
內有零點，設
是
在
內的一個零點，
因為
， 
，所以
在
和
上不可能單調，
由
，設
，則
在
和
上存在零點，
即
在
上至少有兩個零點，因為
，
當
時， 
， 
在
上遞增，不合題意；
當
時， 
， 
在
上遞減，不合題意；
當
時，令
，得
，則
在
上遞減，在
上遞增，
在
上存在最小值
.
若
有兩個零點，則有
， 
.
所以
， 
，
設
，則
，令
，得
，
當
時， 
，此時函數
遞增；
當
時， 
，此時函數
遞減，
則
，所以
恒成立.
由
， 
，所以
，
當
時，設
的兩個零點為
，
則
在
上遞增，在
上遞減，在
上遞增，
則
， 
，則
在
內有零點，
綜上，實數
的取值范圍是
.
小博士期末闖關100分系列答案
名校名師培優作業本加核心試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某保險公司利用簡單隨機抽樣方法,對投保車輛進行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結果統計如下:
賠付金額(元) | 0 | 1 000 | 2 000 | 3 000 | 4 000 |
車輛數(輛) | 500 | 130 | 100 | 150 | 120 |
(1)若每輛車的投保金額均為2800元,估計賠付金額大于投保金額的概率.
(2)在樣本車輛中,車主是新司機的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中,車主是新司機的占20%,估計在已投保車輛中,新司機獲賠金額為4000元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個學生在一次競賽中要回答
道題是這樣產生的：從
道物理題中隨機抽取
道；從
道化學題中隨機抽取道；從
道生物題中隨機抽取
道.使用合適的方法確定這個學生所要回答的三門學科的題的序號(物理題的編號為
，化學題的編號為
，生物題的編號為
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，設橢圓
： 
，長軸的右端點與拋物線
： 
的焦點
重合，且橢圓
的離心率是
．
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）過
作直線
交拋物線
于
， 
兩點，過
且與直線
垂直的直線交橢圓
于另一點
，求
面積的最小值，以及取到最小值時直線
的方程．
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