Question

【題目】在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列{n∈N＋}．

求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè){an}，{bn}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；

Answer 1

【答案】a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.證明見解析.

猜測(cè)an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N*.

【解析】主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用。

由條件得2bn＝an＋an＋1， ＝bnbn＋1，

由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.

猜測(cè)an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N*.

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n＝1時(shí)，由已知a1＝2，b1＝4可得結(jié)論成立．

②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即

ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，

那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，

bk＋1＝＝＝(k＋2)2.

解：由條件得2bn＝an＋an＋1， ＝bnbn＋1，

由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.

猜測(cè)an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N*. 4分

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n＝1時(shí)，由已知a1＝2，b1＝4可得結(jié)論成立．

②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即

ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，

那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，

bk＋1＝＝＝(k＋2)2.

所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立．

由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對(duì)一切n∈N*都成立． 10分