Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，證明： ；

（Ⅱ）當，且時，不等式成立，求實數的取值范圍 .

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）要證，只需證，構造差函數，轉化為證明最小值大于零，利用導數研究函數單調性，可得結果，（2）先化簡所求不等式： ，分及兩種情況說明，主要研究分子函數，利用二次求導可得當時， 在上是減函數， 在上是減函數， ； 在上是增函數， 在上是減函數，從而， ，因此當時，滿足題意.

試題解析：（Ⅰ）證明：∵， ， ，即，

令， ，則在上是增函數，

故，即命題結論成立．

（Ⅱ）原不等式等價于．　

當時， ；當時， ，

原不等式等價于，

令，

令， ，

①當時，有，

令，則，故在上是減函數，即，

因此在上是減函數，從而，

所以，當時，對于，有，

當時，有，

令，則，故在上是增函數，即，

因此， 在上是減函數，從而， ，

所以當時，對于，有，

綜上，當時，在，且時，不等式成立．