Question

【題目】已知橢圓 + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，且過點（ ， ）．
（1）求橢圓方程；
（2）設不過原點O的直線l：y=kx+m（k≠0），與該橢圓交于P、Q兩點，直線OP、OQ的斜率依次為k1、k2 ， 滿足4k=k1+k2 ， 試問：當k變化時，m2是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意可得 ，解得a=2，b=1

所以橢圓C的方程是

（2）解：當k變化時，m2為定值，證明如下：

由 得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．

設P（x1，y1），Q（x2，y2）．則x1+x2= ，x1x2= …（）

∵直線OP、OQ的斜率依次為k1，k2，且4k=k1+k2，

∴4k= = ，得2kx1x2=m（x1+x2），

將（）代入得：m2= ，

經檢驗滿足△＞0．

【解析】（1）利用已知條件列出方程組求解橢圓的幾何量，得到橢圓的方程．（2）聯立直線與橢圓方程，設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．利用韋達定理，通過直線OP、OQ的斜率依次為k1 ， k2 ， 且4k=k1+k2 ， 求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．