Question

【題目】在三棱錐ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜邊上的高為1，三棱錐ABCD的外接球的直徑是AB，若該外接球的表面積為16π，則三棱錐ABCD體積的最大值為（ ）
A.
B.
C.1
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：當AD⊥平面BCD時，以CB、CD、CA為棱構造長方體， 此時三棱錐ABCD的外接球即該長方體的外接球，其直徑為AB，
∵該外接球的表面積為16π，∴AB=4，
設BC=a，CD=b，∵在三棱錐ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜邊上的高為1，
∴BD= ，
設Rt△BCD斜邊上的高為CE，則CE=1，
由 ，得BD= =ab，
∵a＞0，b＞0，∴ =ab≥ ，即ab≥2，
當且僅當a=b= 時，取等號，
∴當a=b= 時， =2，解得AC=2 ，
此時三棱錐ABCD體積為V= = = ．
由此排除A，B，C選項，
故選：D．