Question

已知a，b∈（0，2]，函數在上為增函數的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．1

Answer 1

【答案】分析：先積分求出f（x）的表達式，再由f（x）在上為增函數，導數在區間上大于等于0恒成立．求出滿足a，b的關系式，最后把a看成橫軸，b看成縱軸，a，b在一象限圍成邊長為2的正方形的面積為總的基本事件，a，b關系式與正方形圍成的面積為滿足條件的基本事件，用面積之比求出概率．
解答：解：∵，
∴f'（x）=asinx-2bcosx．
若f^′（x）≥0在區間上恒成立，則函數f（x）在區間是增函數．
∵sinx，cosx在區間上均大于0，
∴asinx≥2bcosx，，即．
∴f^′（x）≥0在區間上恒成立?，．
∵tanx在上的最小值為，∴，．
如圖所示：函數f（x）在區間上為增函數的概率為．
故選A．
點評：由已知正確求出a、b滿足的關系式是解題的關鍵．另外轉化思想是解此類問題常用方法之一．