Question

已知a，b∈（0，2]，函數(shù)f(x)=

∫

x  1

(asint-2bcost)dt在[

π

4

 ， 

π

3

]上為增函數(shù)的概率是（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．

  3

  4

• D．1

Answer 1

分析：先積分求出f（x）的表達(dá)式，再由f（x）在[

π

4

 ， 

π

3

]上為增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)在區(qū)間[

π

4

 ， 

π

3

]上大于等于0恒成立．求出滿足a，b的關(guān)系式，最后把a(bǔ)看成橫軸，b看成縱軸，a，b在一象限圍成邊長(zhǎng)為2的正方形的面積為總的基本事件，a，b關(guān)系式與正方形圍成的面積為滿足條件的基本事件，用面積之比求出概率．

解答：解：∵f(x)=

(-acost-2bsint) |

x 1

=(-acosx-2bsinx)-(-acos1-2bsin1)，
∴f'（x）=asinx-2bcosx．
若f^′（x）≥0在區(qū)間[

π

4

 ， 

π

3

]上恒成立，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

4

，

π

3

]是增函數(shù)．
∵sinx，cosx在區(qū)間[

π

4

 ， 

π

3

]上均大于0，
∴asinx≥2bcosx，

sinx

cosx

≥

2b

a

，即

2b

a

≤tanx．
∴f^′（x）≥0在區(qū)間[

π

4

 ， 

π

3

]上恒成立?[tanx]min＞

2b

a

，x∈[

π

4

，

π

3

]．
∵tanx在[

π

4

 ， 

π

3

]上的最小值為tan

π

4

=1，∴

2b

a

≤1，b≤

1

2

a．
如圖所示：函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

4

，

π

3

]上為增函數(shù)的概率為P=

1 2 ×2×1

2×2

=

1

4

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：由已知正確求出a、b滿足的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．另外轉(zhuǎn)化思想是解此類問(wèn)題常用方法之一．