Question

【題目】如圖所示的正四棱柱的底面邊長為，側棱,點在棱上，

且 ().

（1）當時，求三棱錐的體積；

（2）當異面直線與所成角的大小為時，求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）正四棱柱中， 平面，可得 ；（2）以為原點，射線、、作軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標系，可得， ，利用空間向量夾角余弦公式列方程求解即可.

試題解析：（1）由，得， 又正四棱柱，則平面，

則 .

（2）以為原點，射線、、作軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標系（如圖），

則， ， ， ，

即，

又異面直線與所成角的大小為，

則,

化簡整理得，又，即.

【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求異面直線所成的角角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.