Question

【題目】已知坐標平面上點M（x，y）與兩個定點M1（26，1），M2（2，1）的距離之比等于5．
（1）求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；
（2）記（1）中的軌跡為C，過點A（﹣2，3）的直線l被C所截得的線段的長為8，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意坐標平面上點M（x，y）與兩個定點M1（26，1），M2（2，1）的距離之比等于5，

得 =5. ，化簡得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0．

即（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．

∴點M的軌跡方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=25，

所求軌跡是以（1，1）為圓心，以5為半徑的圓

（2）解：當直線l的斜率不存在時，過點A（﹣2，3）的直線l：x=﹣2，

此時過點A（﹣2，3）的直線l被圓所截得的線段的長為：2 =8，

∴l：x=﹣2符合題意．

當直線l的斜率存在時，設過點A（﹣2，3）的直線l的方程為y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，

圓心到l的距離d= ，

由題意，得 +42=52，解得k= ．∴直線l的方程為 x﹣y+ =0．即5x﹣12y+46=0．

綜上，直線l的方程為x=﹣2，或5x﹣12y+46=0

【解析】（1）直接利用距離的比，列出方程即可求點M的軌跡方程，然后說明軌跡是什么圖形；（2）設出直線方程，利用圓心到直線的距離，半徑與半弦長滿足的勾股定理，求出直線l的方程．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解點到直線的距離公式的相關知識，掌握點到直線的距離為：．