Question

【題目】在數列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N*（Ⅰ）證明：數列{an﹣n}是等比數列
（Ⅱ）記數列{an}的前n項和為Sn ， 求證：Sn+1≤4Sn ， 對任意n∈N*成立．

Answer 1

【答案】證明：（I）∵an+1=4an﹣3n+1，∴an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），a1﹣1=1． ∴數列{an﹣n}是等比數列，首項為1，公比為4．
（II）由（I）可得：an﹣n=4n﹣1 ， 解得an=n+4n﹣1 ，
Sn= + = + ．
Sn+1= + ．
∴4Sn﹣Sn+1=4× +4× ﹣ ﹣ = ﹣1= ≥0．
∴Sn+1≤4Sn ， 對任意n∈N*成立．
【解析】（I）由an+1=4an﹣3n+1，變形an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），a1﹣1=1．即可證明．（II）由（I）可得：an﹣n=4n﹣1 ， 解得an=n+4n﹣1 ， 利用等差數列與等比數列的求和公式可得：Sn ， Sn+1 ． 作差4Sn﹣Sn+1即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等比數列的通項公式（及其變式）的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握通項公式：．