Question

【題目】已知△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asinA﹣csinC=（a﹣b）sinB．
（1）求角C的大小；
（2）若邊長 ，求△ABC的周長最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，根據正弦定理，asinA﹣csinC=（a﹣b）sinB

得，a2﹣c2=（a﹣b）b，即a2+b2﹣c2=ab．

由余弦定理得cosC= = ．

又C∈（0，π）．

所以C=

（2）解：∵C= ， ，A+B= ，

∴ ，可得：a=2sinA，b=2sinB=2sin（ ﹣A），

∴a+b+c= +2sinA+2sin（ ﹣A）

= +2sinA+2（ cosA+ sinA）

=2 sin（A+ ）+

∵由0＜A＜ 可知， ＜A+ ＜ ，可得： ＜sin（A+ ）≤1．

∴a+b+c的取值范圍（2 ，3 ]

【解析】（1）通過正弦定理化簡已知表達式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值．（2）由已知利用正弦定理可得a=2sinA，b=2sin（ span> ﹣A），利用三角函數恒等變換的應用化簡可求a+b+c=2 sin（A+ ）+ ，根據A+ 的范圍，利用正弦函數的圖象和性質得到結果．
【考點精析】掌握正弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道正弦定理:．