Question

【題目】已知函數.

（1）若，求函數的極值；

（2）當 時，判斷函數在區間上零點的個數.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】試題分析：（1）求導數得，又，所以，由此可得函數的單調性，進而可求得極值；

（2）由，得。因此分和兩種情況判斷函數的單調性，然后根據零點存在定理判斷函數零點的個數。

試題解析：

（1）∵，

∴，

因為，所以，

當x變化時， 的變化情況如下表：

				1
		0		0
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

由表可得當時， 有極大值，且極大值為，

當時， 有極小值，且極小值為.

（2）由（1）得。

∵，∴.

① 當時， 在上單調遞增，在上遞減

又因為

所以在（0,1）和（1,2）上各有一個零點，

所以上有兩個零點。

② 當，即時， 在上單調遞增，在上遞減，在上遞增，

又因為

所以在上有且只有一個零點，在上沒有零點，

所以在上有且只有只有一個零點.

綜上：

當時， 在上有兩個零點；

當時， 在上有且只有一個零點。