Question

【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數x與燒開一壺水所用時間y的一組數據，且作了一定的數據處理（如表），得到了散點圖（如圖）.

表中，.

（1）根據散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數x的回歸方程類型？（不必說明理由）

（2）根據判斷結果和表中數據，建立y關于x的回歸方程；

（3）若旋轉的弧度數x與單位時間內煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時，燒開一壺水最省煤氣？

附：對于一組數據，，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.

Answer 1

【答案】（1）更適宜（2）（3）x為2時，燒開一壺水最省煤氣

【解析】

（1）根據散點圖是否按直線型分布作答；

（2）根據回歸系數公式得出y關于的線性回歸方程，再得出y關于x的回歸方程；

（3）利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.

（1）更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數x的回歸方程類型.

（2）由公式可得：，

，

所以所求回歸方程為.

（3）設，則煤氣用量，

當且僅當時取“”，即時，煤氣用量最小.

故x為2時，燒開一壺水最省煤氣.