Question

【題目】記無窮數列的前n項中最大值為，最小值為，令，數列的前n項和為，數列的前n項和為．

（1）若數列是首項為2，公比為2的等比數列，求；

（2）若數列是等差數列，試問數列是否也一定是等差數列？若是，請證明；若不是，請舉例說明；

（3）若，求．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3），

【解析】

（1）由題意求得和，即得，利用等比數列求和公式可得結果.

（2）若“數列{bn}是等差數列”，設其公差為d′，bn+1﹣bnd′，根據定義，Mn+1≥Mn，mn+1≤mn，至少有一個取等號，當d′＞0時，Mn+1＞Mn，an+1＝Mn+1＞Mn≥an，即數列{an}為增數列，則Mn＝an，mn＝a1，進而得出．同理可得d′＜0時，“數列{an}是等差數列”；當d′＝0時，Mn+1＝Mn，且mn+1＝mn，故{an}為常數列，是等差數列．

（3）由題意可得，根據定義可以分析得到當時，，即得；同理可得時，．，

所以當時，， 得到 可得，求得

；當時， 得到，求得，分段寫出結果即可.

（1）∵數列是首項為2，公比為2的等比數列，∴，∴，

則，∴

（2）若數列是等差數列，設其公差為

∵

根據，的定義，有以下結論：

，，且兩個不等式中至少有一個取等號，

①若，則必有，∴，即對，，都有

∴，，

∴，即為等差數列；

②當時，則必有，所以，即對，，都有

∴，，

所以，即為等差數列；

③當，

∵，中必有一個為0，∴根據上式，一個為0，則另一個亦為0，

即，，∴為常數數列，所以為等差數列，

綜上，數列也一定是等差數列．

（3）∵，

∴當時，，即，當時，，即．

以下證明：，

當時，

若，則，，所以，不合題意；

若，則，，則，得：，與矛盾，不合題意；

∴，即；

同理可證：，即，時，．

①當時，， ∴ ∴，

∵ ∴

∴

②當時，，且

∴，則為或．若為，則為常數，與題意不符，∴ ∴ ∴

∴ ，

∴，.