Question

【題目】如圖，多面體中， 兩兩垂直，且， ， ，

.

(Ⅰ) 若點在線段上，且，求證: 平面；

(Ⅱ)求直線與平面所成的角的正弦值；

(Ⅲ)求銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）分別取的中點，連接，由已知條件推導出四邊形是平行四邊形，從而得到，即可證明平面；（Ⅱ）以點為原點，分別以所在直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，利用法向量即可求出直線與平面所成的角的正弦值；（Ⅲ）分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即可求出二面角的余弦值.

試題解析：（Ⅰ）分別取的中點，連接，則有， .

∵，∴ ，又∵，∴ ，

∴四邊形是平行四邊形， ∴，

又∵平面， 平面，∴ 平面；

（Ⅱ）如圖，以點為原點，分別以所在直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系.則 ，

， ， ，

設(shè)平面的一個法向量，則有

，化簡，得，

令，得，

設(shè)直線與平面所成的角為，則有，

∴直線與平面所成的角的正弦值為；

（Ⅲ）由已知平面的法向量， ，

設(shè)平面的一個法向量，則有

∴，∴ ，令，則，

設(shè)銳二面角的平面角為，

則 ，

∴銳二面角的余弦值為.