Question

【題目】已知雙曲線C： （a＞0，b＞0）過點A（1，0），且離心率為
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知直線x﹣y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓x2+y2=5上，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵雙曲線C： （a＞0，b＞0）過點A（1，0），

∴a=1，

∵雙曲線的離心率為

∴e= = ，則c= ，

則b2=c2﹣a2=3﹣1=2，

則雙曲線C的方程為x2﹣ =1

（2）解：由 ，

得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，

∴ ，

又∵中點在直線x﹣y+m=0上，

所以中點坐標為（m，2m），

代入x2+y2=5得m=±1滿足判別式△＞0

【解析】（1）依題意 ，故 ，所以b2=2，由此能求出雙曲線方程．（2）由 ，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，故 ，中點在直線x﹣y+m=0上，所以可得中點坐標為（m，2m），由此能求出m的值．