Question

【題目】已知正項數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=3，a2=6，{bn}是等差數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都有 成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）設(shè) ，試比較2Sn與 的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵正項數(shù)列{an}，{bn}滿足對任意正整數(shù)n，都有 成等比數(shù)列，

∴an=bnbn+1，

∵a1=3，a2=6，∴b1b2=3，b2b3=6

∵{bn}是等差數(shù)列，∴b1+b3=2b2，∴b1= ，b2=

∴bn= ；

（2）解：an=bnbn+1= ，則 =2（ ）

∴Sn=2[（ ）+（ ）+…+（ ）]=1﹣

∴2Sn=2﹣

∵ =2﹣

∴2Sn﹣（ ）=

∴當(dāng)n=1，2時，2Sn＜ ；當(dāng)n≥3時，2Sn＞

【解析】（1）利用正項數(shù)列{an}，{bn}滿足對任意正整數(shù)n，都有 成等比數(shù)列，可得an=bnbn+1 ， 結(jié)合{bn}是等差數(shù)列，可求數(shù)列的公差，從而可求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）確定數(shù)列{an}的通項，利用裂項法求和，再作出比較，可得結(jié)論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等差數(shù)列的通項公式（及其變式）(通項公式：或)，還要掌握等比數(shù)列的通項公式（及其變式）(通項公式：)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．