Question

【題目】已知函數.

（I）討論極值點的個數.

（II）若是的一個極值點，且，證明：.

Answer 1

【答案】（I）答案不唯一，具體見解析（II）見解析

【解析】

（I） 根據題目條件，求出函數的導數，通過討論的范圍，得到函數的單調區間，從而求得函數的極值的個數。

（II）根據是的一個極值點，得出，再根據，求出的范圍，再利用（１）中的結論，得出的單調性，觀察得出，對與的大小關系進行分類討論，結合函數單調性，即可證明。

（I）∵，，．

∴或

1、當，即時，

若，則，單調遞增；

若，則，單調遞減；

若，則，單調遞增；

此時，有兩個極值點：，．

2、當，即時，，f（x）單調遞增，

此時無極值點.

3、當，即時，

若，則，單調遞增；

若，則，單調遞減；

若，則，單調遞增；

此時，有兩個極值點：，．

故當時，無極值點：當時，有兩個極值點.

（II）由（Ⅰ）知，，且，

∴，由（1）中3知：在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增

又（這一步是此題的關鍵點，觀察力）

1、當即時，在上單調遞減，

此時，成立.

2、當即時，成立.

3、當即時，在上單調遞增.

此時，成立.

綜上所述，，當時，“=”成立.