Question

【題目】如圖，OA，OB是兩條互相垂直的筆直公路，半徑OA＝2km的扇形AOB是某地的一名勝古跡區域．當地政府為了緩解該古跡周圍的交通壓力，欲在圓弧AB上新增一個入口P（點P不與A，B重合），并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB，MN，切點分別是B，P．當新建的兩條公路總長最小時，投資費用最低．設∠POA＝，公路MB，MN的總長為．

（1）求關于的函數關系式，并寫出函數的定義域；

（2）當為何值時，投資費用最低？并求出的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 當時，投資費用最低，此時的最小值為.

【解析】

（1）由題意，設，利用平面幾何的知識和三角函數的關系式及三角恒等變換的公式，即可得函數的關系式；

（2）利用三角函數的基本關系式和恒等變換的公式，求得的解析式，再利用基本不等式，即可求得投資的最低費用，得到答案.

（1）連接，在中，，故，

據平面幾何知識可知,

在中，，故，

所以，

顯然，所以函數的定義域為，

即函數關系式為，且。

（2）化簡（1）中的函數關系式可得：

令，則，代入上式得：

當且僅當時取“＝”，此時

求得，又，所以

∴當時，投資費用最低，此時的最小值為.