Question

(本題滿分14分) 
已知函數處取得極值為2．
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）若函數在區間上為增函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若圖象上的任意一點，直線l與的圖象相切于點P，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ） ．（Ⅱ）．

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。利用已知條件得到參數關系式得到解析式，以及根據函數的遞增性質，得到參數的范圍。以及直線與曲線相切的直線斜率的范圍。
（1）根據函數處取得極值為2．，那么求函數的解析式；
（Ⅱ）若函數在區間上為增函數，則可知導函數在給定區間恒大于等于零，分離參數的思想得到，實數m的取值范圍；
（Ⅲ）因為圖象上的任意一點，直線l與的圖象相切于點P，利用導數的幾何意義得到，直線l的斜率的取值范圍．
解：（Ⅰ）已知函數，∴
又函數處取值極值2，   ∴
即      ∴ ．     …………………… 5分
（Ⅱ）∵，得
所以的單調增區間為[，1]．
因函數上單調遞增，       則有，
解得上為增函數．  ………………… 9分
（Ⅲ）∵，∴．
直線l的斜率,
即, 則
從而得k的取值范圍是．                    ……………………… 14分