Question

【題目】已知函數f（x）=ln（1+x）﹣x+ x2（k≥0）． （Ⅰ）當k=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】解：（I）當K=2時， 由于 所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為
．即3x﹣2y+2ln2﹣3=0
（II）f'（x）= ﹣1+kx（x＞﹣1）
當k=0時，
因此在區間（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在區間（0，+∞）上，f'（x）＜0；
所以f（x）的單調遞增區間為（﹣1，0），單調遞減區間為（0，+∞）；
當0＜k＜1時， ，得 ；
因此，在區間（﹣1，0）和 上，f'（x）＞0；在區間 上，f'（x）＜0；
即函數f（x）的單調遞增區間為（﹣1，0）和 ，單調遞減區間為（0， ）；
當k=1時， ．f（x）的遞增區間為（﹣1，+∞）
當k＞1時，由 ，得 ；
因此，在區間 和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在區間 上，f'（x）＜0；
即函數f（x）的單調遞增區間為 和（0，+∞），單調遞減區間為
【解析】（I）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，然后求出切點坐標，再用點斜式寫出直線方程，最后化簡成一般式即可；（II）先求出導函數f'（x），討論k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四種情形，在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．