【題目】已知函數
，
，
.
（1）若
，求函數
的極值；
（2）若函數
在
上單調遞減，求實數
的取值范圍；
（3）在函數
的圖象上是否存在不同的兩點
，使線段
的中點的橫坐標
與直線
的斜率
之間滿足
？若存在，求出
；若不存在，請說明理由.
【答案】（1） 
取得極大值
，無極小值;（2） 
;（3）詳見解析.
【解析】
試題分析：（1）當
時，求函數的導數以及導數的零點，并判斷零點兩側的單調性，求得極值；（2）根據條件將問題轉化為
，當
時恒成立，采用參變分離的方法，得到
；（3）設點A,B的坐標，表示兩點連線的斜率，以及中點處的導數，得到
，可將此式變形為關于
的函數，轉化為判定函數是否有零點的問題.
試題解析：解：（1）
的定義域為
,
，
故
單調遞增；
單調遞減，
時，取得極大值，無極小值.
（2）
，
，
若函數在
上單調遞減，則
對
恒成立
∴
，只需
∵時，
，則
，
，
故
，
的取值范圍為.
（3）假設存在，不妨設
，
由
得，整理得
令
，
，
在
上單調遞增，
，故
, 
不存在符合題意的兩點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓的中心是坐標原點
，焦點在
軸上，離心率為
，又橢圓上任一點到兩焦點的距離和為
．過右焦點
與軸不垂直的直線
交橢圓于
，
兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）在線段
上是否存在點
，使得
？若存在，求出
的取值范圍；若不存在，請
說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量
（升）關于行駛速度
（千米/小時）的函數解析式可以表示為： 
，已知甲、乙兩地相距100千米．
（1）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
（2）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
.
（1）求函數
的單調區間；
（2）當
時，是否存在整數
，使不等式
恒成立？若存在，求整數
的值；若不存在，則說明理由；
（3）關于
的方程
在
上恰有兩個相異實根，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校90名專職教師的年齡狀況如下表:
年齡 | 35歲以下 | 35～50歲 | 50歲以上 |
人數 | 45 | 30 | 15 |
現擬采用分層抽樣的方法從這90名專職教師中抽取6名老、中、青教師下鄉支教一年.
（Ⅰ）求從表中三個年齡段中分別抽取的人數；
（Ⅱ）若從抽取的6個教師中再隨機抽取2名到相對更加邊遠的鄉村支教,計算這兩名教師至少有一個年齡是35～50歲教師的概率。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
，
，
）．
（1）若
的部分圖像如圖所示，求
的解析式；
（2）在（1）的條件下，求最小正實數
，使得函數
的圖象向左平移
個單位后所對應的函數是偶函數；
（3）若
在
上是單調遞增函數，求
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線
的參數方程為
（
為參數），以直角坐標系原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標系.
（1）求曲線
的極坐標方程，并說明其表示什么軌跡；
（2）若直線的極坐標方程為
，求直線被曲線
截得的弦長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于無窮數列
和函數
，若
，則稱
是數列
的母函數.
（Ⅰ）定義在
上的函數
滿足：對任意
，都有
，且
；又數列
滿足
.
（1）求證： 
是數列
的母函數；
（2）求數列
的前項
和
.
（Ⅱ）已知
是數列
的母函數，且
.若數列
的前
項和為
，求證： 
.
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