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【題目】對于無窮數列和函數，若，則稱是數列的母函數.

（Ⅰ）定義在上的函數滿足：對任意，都有，且；又數列滿足.

（1）求證：是數列的母函數；

（2）求數列的前項和.

（Ⅱ）已知是數列的母函數，且.若數列的前項和為，求證： .

【答案】(Ⅰ)(1)證明見解析；(2) ；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)(1)由題意結合母函數的定義即可證得結論；

(2)由題意錯位相減可得；

(Ⅱ)由題意結合不等式的特點即可證得題中的結論.

試題解析：

（Ⅰ）(1)由題知，且

是數列的母函數；

(2) 由(1) 知：是首項和公差均為的等差數列，故.

①

②

兩式相減得： .

（Ⅱ）由題知：， .

從而是以為首項，為公比的等比數列

又

故當時

練習冊系列答案

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