Question

【題目】在如圖所示的直三棱柱中，，分別是，的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若,,,求直線與平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取中點，連接，.，推導出，從而平面.

；再推導出平面，進而平面平面.由此能證明平面．（Ⅱ）取的中點，連接，，可推導出平面平面，點在平面上的射影在上，所以即為直線與平面所成角，由此能求出直線與平面所成角的正切值.

試題解析：

（Ⅰ）取中點，連接，.

在中，因為，分別為，的中點，所以,平面，平面，所以平面.

在矩形中，因為,分別為,的中點，

所以，平面，平面,所以平面.

因為，所以平面平面.

因為平面，故 平面；

（Ⅱ）因為三棱柱為直三棱柱，所以,

又，，所以平面.

因為，，所以，

又，所以為正三角形，

所以，所以.

取的中點，連接，，所以,,所以平面，

所以平面平面，點在平面上的射影在上，

所以即為直線與平面所成角.

在中，，所以.