Question

【題目】已知橢圓，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作斜率不為的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】試題分析：

（1）由題意得到右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的坐標(biāo)，得到的值后可得橢圓的方程．（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，可得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．結(jié)合直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立消元后所得的一元二次方程，可求得弦長(zhǎng)，根據(jù)求得后，根據(jù)函數(shù)求最值的方法可求得的最大值．

試題解析：

（1）在方程中，

令，得，所以上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，故；

令，得，所以右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，故．

所以橢圓的方程為.

（2）由條件可得直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且斜率存在，

設(shè)其方程為，即，

由消去y整理得

．

∵直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，

∴，

解得．

設(shè)，

則，

∴

，

又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．

∴

，

令，

則，

所以當(dāng)，即時(shí)， 有最大值，且最大值為．

經(jīng)檢驗(yàn)知滿(mǎn)足，故的面積的最大值為．