Question

【題目】如圖，設H為銳角△ABC的垂心.由頂點A向以BC為直徑的⊙O作一條切線AE，切點為E，聯結EH交AO于點G，過G任意作⊙O的一條弦PQ.證明：AO 平分∠PAQ.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

如圖，

設AD、CF是△ABC的兩條高，于是，F在⊙O上，因為∠BFC=∠ADB=90°，

所以，B、F、H、D四點共圓.

由割線定理得.

聯結OE，則OE⊥AE.于是，有.

所以，.①

過點E作.垂足為，聯結.

在Rt△AEO中，由射影定理得.②

由式①、②得.

則O、D、H、四點共圓.

故.從而，.

因此，E、、H三點共線，即點G與重合.

所以，EH⊥AO.

聯結OP、OQ.在⊙O中，由EH⊥AO及相交弦定理得：

.

則A、P、O、Q四點共圓.

又OP=OQ，所以，∠PAO=∠QAO.