Question

【題目】在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.已知：數列的前項和為，且，　 　.求：對大于1的自然數，是否存在大于2的自然數，使得，，成等比數列.若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】答案不唯一，見解析

【解析】

因為要使得,,成等比數列,不妨選擇,分析可知數列是首項為1,公差為3的等差數列,進而得到,從而計算,再根據二次函數的最值分析的最小值即可.

由,,即,

可得數列是首項為1,公差為3的等差數列,

則,

假設對大于1的自然數,存在大于2的自然數,使得,,成等比數列,

可得,即,

兩邊平方可得,

由在,且遞增,可得時,取得最小值6,

可得此時取得最小值6,

故存在大于2的自然數,使得,,成等比數列,且的最小值為6.