Question

如圖所示，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分別是AB、PC的中點.求證：MN⊥平面PCD.

Answer 1

證明略

 如圖所示，取PD的中點E，連接AE、NE， 

∵N、E分別為PC，PD的中點，
∴NE為△PCD的中位線，
∴NE∥CD且NE=CD.
又M為AB的中點，
∴AM∥CD且AM=CD，
∴AM∥NE且AM=NE，
∴四邊形AENM為平行四邊形，∴AE∥MN.
又△PAD為等腰三角形，∴AE⊥PD，∴MN⊥PD.
連接PM、MC，設AD=a，AB=2b，
∴PM²=a²+b²，CM²=a²+b²，
∴CM=PM，∴MN⊥PC.
∵PC∩PD=P，∴MN⊥平面PCD.△ABC為正三角形，
D、E分別是BC、CA的中點.