Question

底面ABCD為矩形的四棱錐P-ABCD中，AB=

3

，BC=1，PA=2，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E為PD的中點
（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥面PAC，并求出點N到AB和AP的距離．

Answer 1

（1）以A為原點，AB、AD、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系如圖所示
可得B(

3

，0，0)、C(

3

，1，0)、D（0，1，0）、
P（0，0，2）、E(0，

1

2

，1)，
從而

AC

=(

3

，1，0)，

PB

=(

3

，0，-2)．
設(shè)

AC

與

PB

的夾角為θ，則
cosθ=

AC • PB

| AC |•| PB |

=

3

2 7

=

3 7

14

，
∴AC與PB所成角的余弦值為

3 7

14

（Ⅱ）由于N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標為（x，0，z），
則

NE

=(-x，

1

2

，1-z)，
由NE⊥面PAC可得，

NE • AP =0 NE • AC =0

，即

(-x， 1 2 ，1-z)•(0，0，2)=0 (-x， 1 2 ，1-z)•( 3 ，1，0)=0

化簡得

z-1=0 - 3 x+ 1 2 =0

，即

x= 3 6 z=1

，可得N點的坐標為(

3

6

，0，1)，
從而側(cè)面PAB內(nèi)存在點N，使NE⊥面PAC，N點到AB和AP的距離分別為1，

3

6

．