Question

【題目】設{an}是各項都為正數的等比數列，{bn}是等差數列，且a1=b1=1，a3+b5=13，a5+b3=21．
（Ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{an}的前n項和為Sn ， 求數列{Snbn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設各項都為正數的等比數列{an}的公比是q，且q＞0，等差數列{bn}的公差是d，
∵a1=b1=1，a3+b5=13，a5+b3=21，
∴ ，即 ，
整理，得2q4﹣q2﹣28=0，q＞0
解得d=2，q=2，
∴an=2n﹣1 ， bn=1+（n﹣1）d=2n﹣1．
（Ⅱ）∵{an}是首項為1，公比為2的等比數列，
∴Sn= =2n﹣1，
∵bn=2n﹣1，
∴Snbn=（2n﹣1）（2n﹣1）=（2n﹣1）2n﹣2n+1，
∴Tn=[1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n]﹣2（1+2+3+…+n）+n，
設S=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n ， ①
則2S=1×22+3×23+5×24+…+（2n﹣1）×2n+1 ， ②
①﹣②，得：
﹣S=2+22+23+…+2n﹣（2n﹣1）2n+1
= ﹣（2n﹣1）2n+1
=2n+1﹣2﹣（2n﹣1）2n+1 ，
∴S=2+（n+1）2n+2 ，
∴Tn=[1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n]﹣2（1+2+3+…+n）+n
=2+（n+1）2n+2﹣2× +n
=（n+1）2n+2﹣n2+2．
【解析】（Ⅰ）由已知條件，利用等差數列和等比數列的通項公式建立方程組，求出公差和公比，由此能求出數列{an}，{bn}的通項公式．（Ⅱ）先求出數列{an}的前n項和Sn ， 再求出Snbn的表達式，然后利用分組求和法、錯位相減法和等等數列前n項和公式能求出Tn ．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．