Question

【題目】《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中將底面為直角三角形的直棱柱稱為塹堵，將底面為矩形的棱臺稱為芻童.在如圖所示的塹堵與芻童的組合體中,．臺體體積公式：，其中分別為臺體上、下底面面積，為臺體高.

（Ⅰ）證明：直線 平面；

（Ⅱ）若,，，三棱錐的體積，求該組合體的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）.

【解析】【試題分析】（Ⅰ）運用線面垂直的判定定理進行推證; （Ⅱ）先建立方程求出三棱錐的高，再運用簡單幾何體的體積公式進行分析求解。

（Ⅰ）證明：由題可知是底面為直角三角形的直棱柱，

平面 , ……………………………………………2分

又，,平面，

, …………………………………………………………4分

又，四邊形為正方形，，

又,平面，平面. …………………6分

（Ⅱ）設芻童的高為，則三棱錐體積

，所以, ……………………………………………9分

故該組合體的體積為

.……………………12分

（注：也可將臺體補形為錐體后進行計算）