Question

【題目】．

（1）若，求函數的單調區間；

（2）若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）先求函數導數，再根據定義域研究導函數零點：當時，僅有一個零點；當時，有兩個零點；列表分析導函數符號變號規律得單調區間（2）根據（1）得，將不等式轉化為證明，構造函數。利用導數可得

試題解析：（1），，

則，

當時，在上單調增，上單調減，

當時，令，解得，，

當，解得，

∴，的解集為，；的解集為，

∴函數的單調遞增區間為：，，

函數的單調遞減區間為；

當，解得，

∴，的解集為；的解集為，

綜上可知：，函數的單調遞增區間為：，，函數的單調遞減區間為；，函數的單調遞增區間為，函數的單調遞減區間為．

（2）證明：∵，故由（1）可知函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，

∴在時取極大值，并且也是最大值，即 ，

又∵，

∴，

設，，

∴的單調增區間為，單調減區間為，

∴，

∵，∴，∴，，

∴．